【向量积计算公式】向量积，也称为叉积（Cross Product），是两个向量在三维空间中的一种乘法运算方式。它主要用于求解与这两个向量都垂直的第三个向量，并且其模长等于这两个向量所形成的平行四边形的面积。向量积在物理学、工程学和计算机图形学中有广泛的应用。

一、向量积的基本概念

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 是一个向量，其方向由右手定则决定，其大小由以下公式给出：

$$

$$

其中，θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。

二、向量积的计算公式

向量积 a × b 的具体表达式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2, \quad a_3b_1 - a_1b_3, \quad a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、向量积的性质

四、向量积的几何意义

- 向量积的方向：由右手螺旋法则确定。

- 向量积的模长：表示由两个向量构成的平行四边形的面积。

- 若两向量共线，则向量积为零向量。

五、向量积的计算示例

设向量 a = (1, 2, 3)，向量 b = (4, 5, 6)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}

= (-3, 6, -3)

$$

六、总结

向量积是一种重要的向量运算方式，广泛应用于物理和工程领域。通过行列式展开或分量计算，可以得到向量积的具体结果。掌握其定义、性质和计算方法，有助于更好地理解三维空间中的向量关系。