【等比数列前n项和公式是什么】等比数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值相等。在实际应用中，常常需要计算等比数列前n项的和，这在工程、金融、物理等领域都有广泛的应用。
一、等比数列前n项和的基本概念
等比数列的一般形式为：
$$ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $$
其中，$ a $ 是首项，$ r $ 是公比（即相邻两项的比值），$ n $ 是项数。
要计算这个数列前n项的和，可以使用以下公式：
二、等比数列前n项和公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用条件 |
| 等比数列前n项和公式 | $ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 当公比 $ r \neq 1 $ 时使用 |
| 特殊情况（r=1） | $ S_n = a \cdot n $ | 当公比 $ r = 1 $ 时，所有项都相同，直接乘以项数 |
三、公式推导简述
设等比数列前n项和为 $ S_n $，则有：
$$ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} $$
将两边同时乘以公比 $ r $：
$$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n $$
用原式减去新式：
$$ S_n - rS_n = a - ar^n $$
$$ S_n(1 - r) = a(1 - r^n) $$
因此得：
$$ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
四、实例说明
| 例子 | 首项a | 公比r | 项数n | 计算结果 |
| 示例1 | 2 | 3 | 4 | $ 2 \times \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 80 $ |
| 示例2 | 5 | 1 | 6 | $ 5 \times 6 = 30 $ |
| 示例3 | 1 | 2 | 5 | $ 1 \times \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 31 $ |
五、注意事项
- 如果公比 $ r = 1 $，说明所有项都是相同的，此时可以直接用首项乘以项数。
- 如果公比 $
$$ S = \frac{a}{1 - r} $$
通过以上总结可以看出，等比数列前n项和的公式具有明确的结构和广泛的适用性。掌握这一公式，有助于解决许多实际问题。
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