【二阶常系数非齐次线性微分方程通解公式】在微分方程的学习中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。这类方程的一般形式为：
$$
y'' + py' + qy = f(x)
$$
其中 $ p $ 和 $ q $ 是常数，$ f(x) $ 是非齐次项，即不为零的函数。求解这类方程的关键在于找到其通解，而通解由两部分组成：对应的齐次方程的通解和一个特解。
一、通解结构
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式如下：
$$
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
$$
- $ y_h(x) $：对应齐次方程 $ y'' + py' + qy = 0 $ 的通解；
- $ y_p(x) $：非齐次方程的一个特解。
二、求解步骤总结
1. 求解齐次方程：
- 写出特征方程：$ r^2 + pr + q = 0 $
- 根据判别式 $ \Delta = p^2 - 4q $ 判断根的情况，并写出对应的通解形式。
2. 寻找特解 $ y_p(x) $：
- 根据非齐次项 $ f(x) $ 的类型，选择适当的特解形式。
- 常见的 $ f(x) $ 类型包括多项式、指数函数、三角函数等。
3. 组合通解：
- 将齐次解与特解相加，得到原方程的通解。
三、常见 $ f(x) $ 类型及对应的特解形式
| 非齐次项 $ f(x) $ | 特解形式 $ y_p(x) $ | 备注 |
| $ e^{ax} $ | $ Ae^{ax} $ | 若 $ a $ 是特征根，则乘以 $ x $ |
| $ \sin(bx) $ 或 $ \cos(bx) $ | $ A\cos(bx) + B\sin(bx) $ | 若 $ bi $ 是特征根，则乘以 $ x $ |
| $ x^n $ | $ x^k (a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n) $ | $ k $ 为特征根的重数 |
| $ e^{ax} \sin(bx) $ 或 $ e^{ax} \cos(bx) $ | $ e^{ax}(A\cos(bx) + B\sin(bx)) $ | 若 $ a+bi $ 是特征根，则乘以 $ x $ |
四、示例说明
例如，考虑方程：
$$
y'' + 3y' + 2y = e^{-x}
$$
1. 齐次方程：$ y'' + 3y' + 2y = 0 $
特征方程：$ r^2 + 3r + 2 = 0 $，根为 $ r = -1, -2 $
所以齐次通解为：$ y_h = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} $
2. 特解：由于 $ f(x) = e^{-x} $，且 $ r = -1 $ 是特征根，因此设特解为：
$ y_p = A x e^{-x} $
3. 代入并求解：
计算 $ y_p' $ 和 $ y_p'' $，代入原方程后解得 $ A = 1 $，所以特解为：
$ y_p = x e^{-x} $
4. 通解：
$ y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x} + x e^{-x} $
五、总结
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式是：
$$
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
$$
其中 $ y_h(x) $ 是齐次方程的通解，$ y_p(x) $ 是根据 $ f(x) $ 类型选取的特解。通过合理选择特解形式并结合齐次解，可以系统地求出该类方程的完整解。
| 模块 | 内容 |
| 方程形式 | $ y'' + py' + qy = f(x) $ |
| 通解公式 | $ y = y_h + y_p $ |
| 齐次解 | 由特征方程决定 |
| 特解 | 根据 $ f(x) $ 类型选择 |
| 应用场景 | 工程、物理、经济学等领域的动态系统建模 |
