在数学和物理学中，向量是描述空间位置、方向以及大小的重要工具。当我们需要研究两个向量之间的关系时，通常会涉及到向量的加减运算。本文将探讨如何计算两个向量相减后的模长，并提供一种直观且易于理解的方法。
向量的基本概念
首先，我们需要了解什么是向量。向量是一个既有大小又有方向的量，可以用箭头表示。在二维或三维空间中，向量可以由其分量来表示。例如，在二维平面中，一个向量 \( \vec{A} \) 可以写成 \( (a_1, a_2) \)，而在三维空间中，则为 \( (a_1, a_2, a_3) \)。
向量相减的定义
假设我们有两个向量 \( \vec{A} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \vec{B} = (b_1, b_2, b_3) \)，它们相减的结果是一个新的向量 \( \vec{C} = \vec{A} - \vec{B} \)。这个新向量的分量可以通过逐个分量相减得到：
\[
\vec{C} = (c_1, c_2, c_3), \quad \text{其中 } c_i = a_i - b_i \, (i=1,2,3)
\]
模长的定义
模长（或称为长度）是指向量从原点到终点的距离。对于任意向量 \( \vec{V} = (v_1, v_2, v_3) \)，其模长 \( |\vec{V}| \) 的公式为：
\[
|\vec{V}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}
\]
计算两个向量相减后的模长
现在我们将上述知识结合起来，来计算两个向量相减后的模长。设 \( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 是两个已知向量，它们相减后的结果向量为 \( \vec{C} = \vec{A} - \vec{B} \)。根据模长的定义，\( \vec{C} \) 的模长为：
\[
|\vec{C}| = \sqrt{(c_1)^2 + (c_2)^2 + (c_3)^2}
\]
其中 \( c_1 = a_1 - b_1 \), \( c_2 = a_2 - b_2 \), \( c_3 = a_3 - b_3 \)。
因此，最终的模长表达式为：
\[
|\vec{C}| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2}
\]
示例计算
为了更好地理解这一过程，让我们看一个具体的例子。假设有两个向量：
\[
\vec{A} = (3, 4, 5), \quad \vec{B} = (1, 2, 3)
\]
则它们相减后的结果向量为：
\[
\vec{C} = \vec{A} - \vec{B} = (3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)
\]
接下来计算 \( \vec{C} \) 的模长：
\[
|\vec{C}| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
\]
总结
通过以上步骤，我们可以清晰地看到如何计算两个向量相减后的模长。这种方法不仅适用于二维和三维空间，还可以推广到更高维度的空间中。希望本文能帮助读者更好地理解和掌握这一基本概念！
